Педагогіка

Элементы линейной алгебры и матричного множества

Повний текст роботи з малюнками та таблицями доступний при скачуванні. Скачати
Дата введення: 2015-11-05       14 ст.

Элементы линейной алгебры и матричного множества

Содержание.

1. Введение.3

2. Основные понятия.3

1.1. Основные типы матриц.3

1.2. Простейшие операции над матрицами.4

2. Определители.5

2.1. Миноры и алгебраические дополнения.6

2.2. Союзная и обратная матрицы.6

3. Вектор. Линейное пространство.7

3.1. Линейное пространство.8

3.2. Правило Крамера для решения линейных уравнений.8

3.3. Однородная система уравнений.8

4. Собственные числа.9

4.1. Характеристическое уравнение.9

5. Билинейная и квадратичная форма.9

6. Матричные многочлены.9

7. Функциональное пространство.11

8. Метрическое пространство.12

Заключение.14

Используемая литература.14


Введение.

Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само существование решений системы, так и возможные числовые значения элементов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, касающиеся матриц:

определители квадратных матриц второго, третьего и высших порядков;

минор матрицы;

ранг матрицы;

операции над матрицами;

собственные числа;

функциональное пространство.

2. Основные понятия.

Система линейных уравнений

а11х1 + а12х2 + а13х3 +…+ а1nхn = у1

а21х1 + а22х2 + а23х3 +…+ а2nхn = у2

…………………………………………………………

аm1х1 + аm2х2 + аm3х3 +…+ аmnхn = уm

будет некоторое множество связей между переменными х1, х2,…,хn и у1, у2,…, уm. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов aij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде

,

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.

Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы - векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (m×n) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.

Основные типы матриц.

Матрица типа (m×1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.

.

Матрица типа (1×n), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.

.<

/p>

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.

.

Транспонирование матрицы А – операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (Ат).

Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

Простейшие операции над матрицами.

Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m×n), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как cij = aij + bij, ; .

Свойства: А + В = В + А (коммутативность);

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка (m×n) равна матрице D = А – В, элементы которой определяются как: dij = aij - bij, ; .

Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.

Произведение матриц.

Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [Сik] = [aijbjk]. В общем случае: С = АВ = [aikbjk].

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.

Умножение матриц на скалярную величину.

При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Raij.

Умножение транспонированных матриц.

ВтАт = (АВ)т.

В общем случае: Ст = (АВ)т = ВтАт.

Дифференцирование матриц.

Производная от А(t) по переменной t определяется как:

=.

Производная от суммы двух матриц: [A(t) + B(t)] = (t) +(t).

Производная от произведения двух матриц: [A(t)B(t)] = (t)B(t) + A(t)(t).

Интегрирование матриц.

Подобно определению производной от матрицы, интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интеграла от элементов исходной матрицы.

dt.

Определители.

Определителем, или детерминантом второго порядка матрицы А записывается как и его значение считается равным (а11а22 – а12а21). Его порядок равен числу строк квадратной матрицы или столбцов.

Определителем, или детерминантом третьего порядка, соответствующим матрице А, называют число, полученное по правилу

Схематически правило вычисления определителя можно изобразить следующим образом:

.

Свойства определителя:

Определитель равен единице, если все элементы на главной диагонали (а11, а22, а33,…, аnn) равны единице, а остальные нулю.

Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки или если равны или пропорциональны соответствующие элементы произведения двух строк.

Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке его строк.

Знак определителя изменяется при перестановке двух его строк.

Если элементы некоторого ряда имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

.

Определитель не изменяется, если к элементам некоторого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже число.

.

Миноры и алгебраические дополнения.

Минором порядка S данной матрицы А (М) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных S строк и S столбцов.

Если матрица А квадратная матрица, то вводится определение дополнительного минора.

Дополнительным минором () называется определитель матрица, оставшийся после вычеркивания S строк и S столбцов.

Пр.:

М =-4; =-24

Алгебраическое дополнение минора – это дополнительный минор, умноженный на (-1)р.

А = (-1)р ּ ,

где Р – сумма номеров строк и столбцов данной матрицы, входящих в минор М.

Р = 2 + 3 + 2 + 3 = 10,

А = (-1)10 ּ (-24) = -24.

Каждый элемент aij матрицы, является минором первого порядка, а дополнительным минором является определитель (n-1)-го порядка, который называется минором aij и обозначается Мij.

Союзная и обратная матрицы.

Союзной или присоединенной матрицей называют квадратную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов и транспонирования.

А*= .

Матрица А-1 называется обратной матрицей к матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной и выполнялось условие АА-1 = А-1А = I.

Невырожденной или несобственной матрицей называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

Производная от обратной матрицы.

Для значения t, при котором А(t) дифференцируема и существует обратная матрица: .

Специальные обратные матрицы:

а) АА-1 = 1 (матрица совпадает со своей обратной матрицей).

б) А – ортогональная матрица, если А-1 = Ат.

в) А – унитарная, если А = {(А*)т}-1 (матрица, обратная матрице А, равная матрице, сопряженной с матрицей А).

Вектор. Линейное пространство.

Скалярные произведение:

Для действительных х и у запишем как: <х, у> = хт у = ут х = <у, x>.

Векторное произведение:

x><у = х(у*)т = ,

если вектор-столбец х (n×1) обозначить через х>; вектор-строку (у*)т (1×m) – через <y.

Ортогональные вектора:

Единичные векторы.

Вектор называется единичным, если его длина равна единице так, что <> = 1.

Линейная зависимость.

Вектор хi (i = 1, 2,…,m) с составляющими х1i, х2i,…, хni называются линейно независимыми, если не существует таких постоянных k1, k2,…, km, что

k1х1 + k2х2 +…+ kmхm = 0.

Квадратная матрица называется особенной, если ее столбцы или строки не являются линейно-независимыми (, а если , то матрица неособенная). Если строки особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то матрица – просто вырожденная. Если более, чем одним соотношением, то – многократно вырожденной.

Рангом (r) матрицы (А) является наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля: r = n – g (n – порядок).

Определитель Грамма:

Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для ki только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами [<xi; xj>] равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен:

система векторов линейно независимая тогда и только тогда, когда определитель Грама ≠ 0.

Линейное пространство.

Наиболее простым примером линейного векторного пространства служит множество векторов, принадлежащих трехмерному пространству (эвклидову). Если система векторов х1, х2,…, хmS, то и множество векторов (у), являющихся линейной комбинацией этих векторов, т.е. у = k1х1 + k2х2 +…+ kmхm, образующееся векторное пространство.

Базисом пространства называется такая система векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов.

Если задана система, состоящая из m линейно независимых векторов, то при помощи исходной системы векторов можно построить ортогональную систему из m линейно независимых векторов. Если длина каждого вектора в ортогональной системе равна единице, то такая система называется ортонормированной.

Правило Крамера для решения линейных уравнений.

Правило Крамера.

Задана исходная система:

а11х1 + а12х2 +…+ а1nхn = у1

а21х1 + а22х2 +…+ а2nхn = у2

……………………………….

аn1х1 + аn2х2 +…+ аnnхn = уn

В более компактной форме: (i = 1, 2,…, n), или Ах = у, где

, .

Итак, правило Крамера для построения решения при помощи определителей можно сформулировать следующим образом: система (n) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными х1, х2,…, хn имеет решение, если матрица А несобственная.

Значение искомой переменной равно постоянному значению от деления двух определителей. Знаменатель равен определителю матрицы коэффициентов системы, а числитель равен определителю матрицы коэффициентов, k-й столбец в которой заменим столбцом, содержащие члены из правой части системы уравнений.

Однородная система уравнений.

Если члены в правой части уравнения равны нулю, то система уравнений называется однородной.

Предположим, что ранг матрицы коэффициентов равен r.

Опускаем q = n – r уравнений так, чтобы определитель матрицы коэффициентов относительно r неизвестных отличался от нуля.

Образуем r уравнений с r неизвестными в левой части уравнения и оставшимся

q = n – r неизвестными в правой части. r неизвестных выражается через q = n – r неизвестных (q деферент А).

Получаем q независимых решений в результате указанных этапов решения.

Собственные числа.

От характеристических значений системы зависит ее динамические свойства.

у = Ах, где у и х – векторы столбцы, а А – квадратная матрица (n×n).

у = Ах = λх, где λ – скалярный коэффициент пропорциональности.

Значение λ (λi), для которого уравнение у = Ах имеет решение xi ≠ 0 называется собственным или характеристическим числом А. Соответственный вектор решения xi ≠ 0 называется собственным или характеристическим вектором А.

Характеристическое уравнение.

Многочлен n-й степени относительно А, определенный уравнением , называется характеристическим уравнением А.

Р(λ) = λn + a1 λn-1 + a2 λn-2 +…+ an-1 λ + an = 0. Корни характеристического уравнения равны собственным или характеристическим значениям А.

Билинейная и квадратичная форма.

Билинейной формой относительно переломных хi, уi, называется выражение вида:

В = a11x1y1 + a12x1y2 +…+ a1nx1yn + a21x2y1 + a22x2y2 +…+a2nx2yn+…+ an1xny1 +…+annxnyn, где все составляющие – действительные величины.

Комплексная форма: , или в матричной форме:

Матрица А – матрица коэффициентов формы, ранг А – ранг формы. Если х = у, то предыдущее уравнение превратится в: Q = xTAx = <x, Ax>.

Q называется квадратичной формой x1, x2,…, xn. Или: .

Преобразование переменных.

Линейное преобразование х = Ву, где В – произвольная неособенная матрица (n×n), преобразует Q в квадратичную форму относительно у1, у2,…, уn: Q = yTBTABy или Q = утСу, где С = ВтАВ.

Матричные многочлены.

Степени матрицы.

AkAm = Ak+m

(Ak)m = Akm

A0 = In

(A-1)m = A-m

Если Am = В, где А – квадратная матрица, то A – корень m-той степени В.

Матричные многочлены.

N(x) = Pnxn + Pn-1xn-1 +…+ P1x + P0 (х – скалярная переменная).

х заменяем квадратной матрицей А, то:

N(A) = PnAn + Pn-1An-1 +…+ P1A + P0In.

Бесконечные ряды матриц.

Запишем:

S(A) = a0In + a1A + a2A2 +…+ anAn +…= akAk, тогда геометрический ряд:

G(A) = I + aA + a2A2 +…= akAk.

Экспоненциальная функция:

eA = expA = I +

Синусоидальная функция:

sinA = A - .

Косинусоидальная функция:

cosA = I -.

Гиперболический синус:

shA = A +.

Гиперболический косинус:

chA = I +.

Теорема Кэли-Гамеильтона.

I0 = - действительная матрица (2×2) (аналог j = ).

sin aI0 = aI0 + I0 sha. Обобщим: Ар = МАрМ-1.

Если N(λ) – многочлен от λ вида: N(λ) = λn + C1 λn-1 +…+ Cn-1 λ + Cn, то

N(A) = An + C1An-1 +…+ Cn-1A + CnI = MN(λ)M-1 = MM-1, где λ1, λ2,…, λn – не нули N(λ).

Если N(λ) = Р(λ1), то N(λ1) = N(λ2) =…= N(λn) = 0 Р(А) = [0], где

Р(λ) = |λI –A| матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Теорема Сельвестра.

Если N(A) – матричный многочлен от А и если квадратная матрица А содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от А можно записать в виде:

, где

.

Согласно теореме Кэли-Гамильтона:

N(A)=a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + anI (произвольный матричный многочлен N(A)) запишется многочленом А с наивысшей степенью n–1.

Теорема Сельвестра. Вырожденная форма.

Если модифицировать уравнение: N(A) = (в том случае, когда А содержит кратные характеристические числа), тогда она (модификация) будет называться вырожденной формой теоремы Сильвера.

Если характеристический корень имеет порядок S, то можно показать, что N(A), обусловленная I корнем λi, равно:

Метод Кэли-Гамильтона.

Рассмотрим случай, когда степень матричного многочлена N(A) выше, чем порядок А.

Делим N(λ) на характеристический многочлен А:

, R(λ) – остаточный член. Затем умножаем Р(λ):

N(λ) = Р(λ)Q(λ) + R(λ). Если Р(λ) = 0, то N(λ) = R(λ). Т.к. P[A] = [0], то матричная функция N(A) = R(A).

А если Q(λ) – аналитическая функция в области, то F(λ) = Q(λ)Р(λ) + R(λ) (*), где Р(λ) – характеристический многочлен А, а R(λ) – многочлен вида:

Р(λ) = а0 + а1λ + а2 λ2 +…+ аn-1 λn-1.

Т.к. Р(λi)=0, то F(λ1) = R(λ1)

F(λ2) = R(λ2)

…………….

F(λ2) = R(λn)

Покажем, что - аналитическая функция λ. Нули знаменателя служат нулями и числителя, то Q(λ) – аналитическая функция. Поэтому уравнение (*) справедливо для всех λ. Вместо λ можно подставить А: F(А) = Q(А)Р(А) + R(А). По теореме Кэли-Гамильтона: Р(А) = 0 F(А) = R(А).

Функциональное пространство.

Здесь рассмотрим такую систему из n функций f1(t),…, fn(t), определенных на интервале (а, b), что ни одна функция fi(t) не является линейной комбинацией любых других (n-1) функций из этого интервала.

Скалярное произведение.

. Для комплексных функций действительного переменного t: .

Норма функция.

Норма f = || f ||1/2 = <f, f>1/2 = []1/2. Нормированной функцией называется функция, норма которой равна единице.

Ортогональные функции.

Две функции f(t) и g(t), ортогональны на (а, b), если <f, g> = 0. Система нормированных функций φ1(t), φ2(t) называется ортонормированной, если < φi, φj> = δij.

Ортогональные функции в качестве базиса функционального пространства.

Рассмотрим бесконечную ортогональную систему функций φ1(t), φ2(t),… в качестве координатных векторов, то по аналогии f(t) вектор этого пространства, а разложение:

Сk = <f, φk>.

Если F(t) апроксимируется линейной комбинацией n нормированных функций

(a < t < b), то получится аппроксимация: ak = ck. Затем (*) – неравенство Бесселя.

Заданная ортонормированная система φ1(t), φ2(t),…, φn(t) называется полной, если производная кусочно-непрерывная f(t) может апроксимироваться в среднем этой системы со сколь угодно малой ошибкой при большом количестве ее членов, т.е.

или

Ортогональная система с «весом».

Вводим весовую функцию ω(t): . Эта функция выбирается для выделения области на (a, b). Говорят, что φk(t) ортонормированны относительно данной «весовой» функции. Коэффициенты Фурье f(t) определяются как:

.

Метрическое пространство.

Пусть X – произвольное множество. Понятие расстояния между элементами из X получается путем обобщения фундаментальных свойств, которые можно интуитивно ожидать от понятия расстояния.

Свяжем с каждой парой элементов из X некоторое вещественное неотрицательное число . Это число называется расстоянием или метрикой в X, если для любых оно удовлетворяет следующим трем условиям:

d(x, y)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);

d(x, y)=d(y, x) (аксиома симметрии);

для любой тройки имеет место d(x, у) ≤ d(x, z)+d(z, у) (аксиома треугольника).

Метрическим пространством называется пара (X, d), т. е. множество X с определенной на нем метрикой d. Элементы множества X называют точками метрического пространства (X, d).

Из данного определения следует, что множество X только тогда превращается в метрическое пространство, когда в него введена соответствующая метрика d(x, у). Если в одном и том же множестве X ввести различные метрики, то получатся и различные пространства.

Заключение.

В данном реферате я рассмотрел основные понятия линейной алгебры и матричного множества, что необходимо для успешного освоения курса математических основ теории систем.

Используемая литература.

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1975.

Чемоданов Б.К. «Математические основы теории автоматического регулирования», Москва 1977 г.

Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики», Москва 1987 г.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1978, Т. 1, Т. 2.

Скачати

Схожі роботи